在一般的经济学论著中,宏观的GDP等经济学量是以指数方式增长的。近年来出现的重构宏观经济学学派试图把宏观经济学奠基在微观经济学的基础上(如[2],[3],[4]等),力图用微观机制和数学推导说明经济的增长方式。在[2]中大都是把GDP增长,消费品增长模型归结为各种纯生过程,但无法回避的问题是:这种模型是否会导致指数增长?如何证明纯生过程的增长速度?本文用严格的数学方法回答了这一问题。
　　二、结果与证明
　　我们假定{=0}=1。
　　令=0,表示{}的第次跳跃时间,,=1,2…。由Markov链的基本性质可知,=1,2…是一列相互独立的随机变量,并且服从参数为的指数分布。显然 。
　　设 是[0,]上的单调增函数,,=1,2…
　　定理2.1 设,令,=1,2…则 几乎处处存在并且是一个连续型随机变量,存在二阶矩。
　　证明:容易验证{}是一个鞅,并且
　　即{}是平方可积鞅。由鞅的收敛定理,几乎处处存在。令=,由Fatou引理可知,即存在二阶矩。此外,由于, 是与相互独立的连续型随机变量,所以也是连续型随机变量。
　　定理2.2 设,=1,2…,则是一个连续型的非负随机变量。
　　证明:这时 是Euler常数。所以
　　=
　　 ,
　　从而是一个连续型的非负随机变量。
　　同理可证
　　定理2.3设,=1,2…,则是一个连续型的随机变量。
　　定理2.4设,则是一个连续型的随机变量。
　　证明:这时,由于
　　,所以,从而是一个连续型的随机变量。
　　注2.1从定理2.2,2.3,2.4可以看出纯生过程{}的发散速度可以是代数速度,指数速度,甚至是超指数速度。
　　
　　参考文献:
　　[1]侯振挺,郭青峰.齐次可列马尔可夫过程.科学出版社,1978.