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　　y?t=Δ［100×ln(RGDP?t)］ (1)?
　　 其中RGDP?t代表实际GDP序列，ln表示自然对数，Δ表示对序列进行一阶差分，y?t即为实际GDP的百分化增长率，单位为%。?① ①本文之所以使用百分化增长率，是为了使增长率数据在数值上不会过小，从而方便处理，这样做并不会改变数据的性质，具体细节可参见Hamilton (1994)??［13］?。 本文的样本期间为1994年2季度至2011年2季度。对中国GDP数据，首先用2005年季度CPI定基比平减2005年名义季度GDP数据，?② ②此处为了与美国GDP数据的处理保持一致，选择用2005年CPI进行平减。CPI季度定基比数据可由此季度内月度的定基比数据的平均值来代替，月度定基比数据可由月度环比数据推算。何新华（2006）??［14］?对以月度价格指数合成季度价格指数的方法进行了详细的说明。 得到以2005年1季度为基的实际季度GDP数据，并将其转换成累计数据。再通过1995年1季度至2011年2季度的实际GDP累计同比增长率数据，得到1994年1季度至2011年2季度的实际GDP累计数据，再处理成当季实际GDP数据。利用人民币对美元加权平均汇率将上述以人民币表示的实际GDP数据转化为以美元表示，单位为十亿美元。最后利用目前常用的由美国商务部人口普查局开发的X12方法对上述数据进行季节调整。?③ ③此处X12季节调整是在EViews 6软件上实现的。以上原始数据均来自中经网统计数据库。美国的实际GDP数据来自美国St. Louis联邦储备银行的FRED数据库，数据是以2005年为基期的经过季节调整的年化实际GDP数据，单位为十亿美元。将上述年化数据转化为每季数据，即将年化数据除以4。?④ ④“年化数据（Annual Rate）”是将季度数据或月度数据转换为可以和年度数据相比较的数据，对于季度GDP数据通常的做法是乘以4。?
　　经过以上处理后的数据如图1所示。根据公式(1)，首先将上述所得的中美两国实际GDP数据取对数后再乘以100，得到对数百分化的实际GDP序列，然后对上述序列取一阶差分，从而得到最终所用的实际GDP增长率数据（分别用y??CN?和y??US?表示），如图2所示。?
　　（二）单变量的时变频域分析模型?
　　对经济波动的频域分析，就是将GDP增长率数据转换为不同频率下的波动强度。对这种不同频率下波动强度的度量指标便是谱函数（Spectrum），它表示出哪些频率下波动比较强，哪些频率下波动比较弱。由此可知，时域方法表示不同时间上GDP增长率的波动强度，频域方法表示不同频率上GDP增长率的波动强度。?
　　如前所述，为了分析不同频率下GDP增长率的波动强度随时间的变化，可以采用时变频域分析方法。其建模过程可以概括为，首先为GDP增长率（y?t）建立一个时变的自回归（Autoregression, AR）模型，在此基础上应用极大熵估计方法求出y?t在每一时刻的谱函数。具体处理过程如下：?
　　1．时变AR模型的建立及其系数的估计。为y?t建立一个时变的AR模型：?
　　?y??t ? = a??0,t ? + ∑?p??j = 1?a??j,t ?y??t-j ? + ε??t ?，ε?t~IID(0,σ?2?ε)? (2)?
　　根据Cogley and Sargent (2001)??［15］?的思想，各系数被给定为一个随机游走过程，即?a??j,t?=a??j,t－1?+u??j,t??，?u??j,t?~IID(0,σ?2??u?j?)?，?j=0,…,p?。模型(2)中的滞后阶数p可以根据时不变的AR模型由AIC准则来确定。为了求出模型(2)中各系数的时变估计量，本文采用状态空间模型（State-Space Model）和Kalman滤波方法。首先将各系数作为状态变量（State Variables），来估计模型中残差的方差。在得到残差方差的估计量后，再估计出状态变量的滤波估计量（Filtered Estimator）作为AR模型(2)中各系数的时变估计量。具体过程如下所述：?
　　令?X?t=(1,y??t－1?,…,y??t－p?)?，?α?t=(a??0,t?,…,a??p,t?)?，?u?t=(u??0,t?,…,u??p,t?)?，模型(2)可以表示成状态空间模型形式：?
　　?y?t=X?tα?t+ε?t?
　　α??t+1?=α?t+u?t ? (3)?
　　模型(3)中的两个方程分别称为测量方程（Measurement Equation）和状态方程（State Equation），其中?α?t?即为状态变量。为估计出模型(3)中的未知参数，也就是各残差的方差，应用Kalman滤波方法构造模型(3)的极大似然函数。Kalman滤波过程可以写成：?
　　?α??t|t－1?=α??t－1|t－1??，?P??t|t－1?=P??t－1|t－1?+Σ?u? (4)?
　　?v?t=y?t－y??t|t－1?=y?t－X?tα??t|t－1??，?F?t=X?tP??t|t－1?X′?t+σ?2?ε? (5)?
　　?α??t|t?=α??t|t－1?+K?*?tv?t?，?P??t|t?=(I－K?*?tX?t)P??t|t－1??，?K?*?t=P??t|t－1?X′?tF??－1??t? (6)?
　　其中?α??t|t－1??、?α??t|t??、?P??t|t－1??、?P??t|t??、?v?t?、?F?t?和?K?*?t?是根据公式(4)-(6)的循环计算所得到的序列。通过以上Kalman滤波过程所构造的极大似然函数可以写成：?
　　??ln?L(φ|y??1,…,T ?) = ∑?T??t = 1??ln?f(y??t ?|y??1,…,t-1 ?;φ)?
　　= -(NT/2)?ln?(2π)-(1/2)∑?T??t = 1?(?ln?|F??t ?| + v'??t ?F??-1??tv??t ?) (7)?
　　其中φ=(σ?2??u?0?,…,σ?2??u?p?,σ?2?ε)?为状态空间模型(3)中的未知参数。通过对极大似然函数(7)的优化，可以得到未知参数?φ?的估计量。?
将未知参数?φ?的估计量代回状态空间模型(3)中，再次进行公式(4)—(6)所示的Kalman滤波过程，所得到的序列?α??t|t??即为状态变量?α?t?的滤波估计量，也即是所求的模型(2)中系数?a??j,t??，?j=0,…,p?的时变估计量。?
　　2．时变谱函数的计算。根据时变的AR模型，来计算y?t在每一时刻的谱函数。将模型(2)写成?(1－a??1,t?L－…－a??p,t?L?p)y?t=a??0,t?+ε?t?形式，其中L表示滞后算子。根据Burg的极大熵估计方法（可参看Cover and Thomas, 1991）??［16］?，y?t的时变谱函数可以通过下式计算：? (责任编辑：南粤论文中心)