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　　?S?y?t(ω) = (1/2π)σ?2?ε/|1-∑?p??j = 1?a??j,t ?e??-iωj?|?2 (8)?
　　其中S?y?t(ω)?表示时间序列y?t的时变谱函数，在每一时点处它是关于频率ω的函数；?ω∈［0,π］?被称为角频率，i为虚数单位。?
　　为了更加清晰地说明角频率的含意，可以将其转化为周期，周期可以对经济学中的长期、中期和短期的概念进行量化。不同角频率所对应的周期可以表示为?T=2πT?s/ω?，其中T?s为采样周期，由于本文采用季度数据，则T?s为1个季度。由此，周期T与角频率?ω?的对应关系如表1所示。
　　（三）中国和美国GDP增长率的频域分析?
　　根据中国GDP增长率（y??CN?）和美国GDP增长率（y??US?）序列各自的时不变AR模型，由AIC准则选择滞后阶数p分别为4阶和2阶。在此基础上分别为以上两个序列建立时变的AR模型(2)，再根据上文所述方法分别得到相应的时变谱函数，即模型(8)，中、美两国GDP增长率的时变谱函数如图3和图4所示。其中水平面上的两个坐标轴分别表示时间（Time）和角频率（Frequency），垂直坐标轴表示谱（Spectrum）的大小。为了更清晰的表示所有时间和频率下谱的大小，图3和图4通过截取只给出了数值在0至0?4之间的谱。?
　　
　　下面将通过图3和图4来分析中美两国各自的经济波动情况，从而为下文进一步分析两国经济波动间的相互影响提供支持。从图3中可以看出1996年以前，中国经济波动主要是长期的（周期大约是15年以上），之后，经济波动逐渐从长期向中期（周期为1至2年）转变，2000年以后经济的中期波动趋于平缓，波动主要集中在短期（周期为2至3个季度），这与中国经济体制改革的历史相吻合。1993年的中共十四届三中全会上，通过了《中共中央关于建立社会主义市场经济体制若干问题的决定》，自此中国国有经济体制改革成为中心环节，大批国有大中型企业被改组为国有独资公司、有限责任公司或股份有限公司。同时为数众多小型国有企业，则通过改组、兼并、承包或出售等形式进行了改革。在这一阶段还进行了财政、税收、价格、金融等多方面的改革。到2000年时改革的重点基本上已经完成。通过数据特征和经济现实的对比可知，1993至2000年的经济体制改革对中国的产业结构和社会习惯造成了巨大的影响，从而造成了经济的长期波动。随着改革的推进，它所造成的经济波动也逐渐从长期转变为中期和短期。2000年以后，中国经济波动中来自产业结构和社会习惯转变的影响已经很小，此时的经济波动主要是由财政政策和货币政策引起的中期波动和一些短期波动。?
　　直到2008年金融危机前后，中国经济又经历了一次大幅波动，主要集中在中期，长期波动相对很小。这说明本次金融危机对中国经济结构方面并没有造成太大的冲击，对中国经济并没有深远的影响。同时由于中期的影响很大，也说明本次金融危机对中国的影响不仅仅是出口量的下降，出口行业本身受到了本次金融危机的严重影响。为了更清晰地认识中国经济的中期波动，本文选取角频率为1?16（所对应的周期约为1?4年）时的谱随时间的变化制成图5，为了更清晰地表示所有时间和频率下谱的大小，通过截取只给出了数值在0至0.4之间的谱。从图5中可以进一步看到，目前中国经济的中期波动仍然处在一个上升的过程，这与中国目前通胀高企，经济不稳定的现实相吻合，当前中国的经济形势不容乐观。?
　　
　　观察图4，总体来看，美国的经济波动主要集中在长期和短期，中期波动相对很小。本文选择角频率为0?06和3?14（所对应的周期分别约为25年和2个季度）时的谱随时间的变化制成图6，从中可以看出2000年的网络股泡沫危机对美国经济的影响是短期的。这说明2000年的危机只降低了美国金融市场的效率，并没有对美国经济产生太大的影响。2001年之后美国经济的长期波动有了一个很大的增强，这种现象可以部分的由中国因素加以解释，这在下文将详细讨论。2008年金融危机对美国的影响是巨大的，而且主要集中在长期，这说明本次金融危机对美国以虚拟经济为主，实体经济严重不足的经济结构造成了巨大的冲击。同时对美国以“寅吃卯粮”的消费习惯也产生了巨大的影响。观察目前的经济情况，美国经济的长期波动正在变小，这说明美国经济未来一段时间将相对乐观。?
　　三、中美两国经济波动相互影响的频域分析?
　　上文对不同时间点上中美两国经济在不同频率处的波动进行了分析。在全球化的背景下，作为当今世界上最大的发展中国家和发达国家，中美两国经济必然存在着很强的相互影响。下面将进一步通过时变增益（Gain）对两国之间的相互影响进行研究。?
　　（一）模型介绍?
　　当研究时间序列x?t对y?t的影响时，通常的做法是在y?t的AR模型中包含x?t的滞后项。由此建立类似模型(2)的时变模型：?
　　?y??t ? = a??0,t ? + ∑?p??j = 1?a??j,t ?y??t-j ? + ∑?q??j = 1?b??j,t ?x??t-j ? + ε??t ?，ε?t~IID(0,σ?2?ε)?
　　a??j,t?=a??j,t－1?+u??j,t?，u??j,t?~IID(0,σ?2??u?j?)，j=0,…,p?
　　b??j,t?=b??j,t－1?+v??j,t?，v??j,t?~IID(0,σ?2??v?j?)，j=1,…,q? (9)?
　　模型(9)中的滞后阶数p和q同样可以根据时不变模型由AIC准则来确定。为了得到模型(9)中系数的时变估计量，类似于上文，可以采用状态空间模型和Kalman滤波方法。令?X?t=(1,y??t－1?,…,y??t－p?,x??t－1?,…,x??t－q?)?，?α?t=(a??0,t?,…,a??p,t?,b??1,t?,…,b??q,t?)?，?η?t=(u??0,t?,…,u??p,t?,v??1,t?,…,v??q,t?)?，从而将模型(9)写成状态空间模型形式：?
　　?y?t=X?tα?t+ε?t?α??t+1?=α?t+η?t ? (10)?
　　首先应用Kalman滤波方法构造模型(10)的极大似然函数，通过对极大似然函数的优化可以得到其中未知参数?φ=(σ?2??u?0?,σ?2??u?1?,…,σ?2??u?p?,σ?2??v?1?,…,σ?2??v?q?,σ?2?ε)?的估计量。再将未知参数的估计量代回到模型(10)中，再次应用Kalman滤波方法得到状态变量?α?t?的滤波估计量，作为模型(9)中系数?a??j,t??，?j=0,…,p?和?b??j,t??，?j=1,…,q?的时变估计量。? (责任编辑：南粤论文中心)