1 预备知识
1．1矩阵不等式 方献亚在1985年第3期《数学通报》⋯“正定实对
称矩阵的几个不等式”一文中，用数学归纳法证明了 以下不等式：
设A，B为，l阶正定矩阵，A，口>0，则
jtlAlg+．IBI≤IAA+laB]g，
当且仅当A=七B(七>0)时等号成立。 推论1设A=／．t=l得
l I
H二+吲i<IA+Big，
一(口l，口2，⋯，q)=型旦业，
G(aj，口2，⋯，巳)=_7亍—』—=号，
‘ ≈‘口l,1712，⋯，口．J
则G(al，a2，⋯，an)≤A(aj，啦，⋯，％)， (3)
当且仅当aI=n，=⋯=口。时等号成立。 均值不等式的推广：设，l×k阶非负实数矩阵，各
列的算术平均值依次记为A。，A：，⋯，A。，各行的几何 平均值依次记为G。，G：，⋯，G。，则
G(A．，如，⋯，A^)≥A(G1，G2，⋯，G)， (4)
当且仅当矩阵至少有一列为零或各行中对应数成比例
时等式成立。
推论2^I仆+-．．+z．IA．郾I^4+．．一"2,mAmrF(O、) 2
7。7。7。。 ’1’’。。7。。1。”。。。
1．2 均值不等式及其推广⋯ 给定正数序列a。，a：，⋯，a。，则它们的算术平均值、
几何平均值分别定义为：
2．I推论I的应用
问题I(1989年全国高中数学联赛试题)【31 已
‘知nl，a2，⋯，an是正数，且满足aJ。a2。⋯•an=1，证明
怫=q口：⋯an=1，Ihi=--(2”)i=2，
I一+曰Ii=I(2+口I)(2+口2)⋯(2+口。)Ii≥ H；+lBl==1+2=3，
又因为
f志]2+[砑1胪
(口l6l-c12)j(口：62一c22)j
即而1+砑1≥鬲磊面2习≥
(q+口2)(hi+61)(cl+C2)2
不等式得证。
满足al>0，a2>0，atb】一c>0，a2b2一c2>0的实数al，bl，
百i丽i孓而s稃+稿成立，
． ．
当(口16l—c12)i=(口262一C22)i时，等号成立。
即当H=例时，等号成立。
2．2推论2的应用 问题3(《奥赛训练教程》南京师范大学出版社
P268(2)【31) 当a，，b，∈R+(扛1，2，⋯，n)，证明不等式
√珥q+√珥6』≤√珥(q+6f)成立。
文献【4】中用均值不等式对此不等式进 行了证明。
证明令彳=alCl羞6)l ，J’ 口=I(c耄2
乏6]2，J’
证盟叟望篁不等式得：
加焘≤蔫．=上ai+bi，
(5)
贝。彳+B=II cla十l十+a2
岛+％JJ。
加去≤三71窆_去i，
由口l>0，ajbl—C12>0，a2>0，a2b2一C22>0，可知A，B是
式(5型6)坠
(6)
正定实对称矩阵，A+B是正定实对称矩阵，于是
I爿+曰Ijl=[(q+a2)(6l+b2)一(c。+c2)2]j，
1月户：(q向一clz)；，I曰淳：(口：62一c2：)ji，
由式(1)得：
J—Ii+lBlj≤I彳+曰l-， ． (n。6I—c12)i1+(口：62一c22)_<I[(口l+口2)(6I+62)一Cl+C2)2]j。 对上面的不等式两边同时平方得：
【(口l6l_cI：)jI+(口262_c22)-：12≤aI心)(6l+62)一b+乞】2，
因为|-aj6l—cl：)ji+(口：6I--C22)；]2：(口l6l--Ct2)+(口：62一
加焘+揖击≤去(喜藉 所以《／兀口，+《／n 6『≤《／n(q+包)。 乇自叭州儿旺明U任秘州厘尔，珏休}U刘，¨J川义队
【1】中的推论2进行证明。 证明令口f>0，饥>0，(f_1，2，⋯，n)，
又令x，=[i1 •．三]，xz=[： ‘．三]。
C22)+2(口。岛一C12)j(口：62一c22)j≥
则X++xx：：==[Iq0+皇‘．
n+三]，1，
4(a。bl_c12)j(口：62一乞2)j，
所以
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