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常微分方程边值问题是常微分方程理论研究的重点,而其中的积分边值问题由于其应用的广泛性,近年来被众多国内外学者所研究。最近, 文献[5]中研究了下列边值问题(BVP)。??
　　?(u″(t))″=w(t)f(t,u(t),u′(t)) t∈(0,1)?
　　u(0)=u(1)=?∫?1?0g(s)u(s)?d?s?
　　?(u″(0))=?(u″(1))=∫?1?0h(s)?(u″(s))?d?s?(1)??
　　至少存在一个、两个和不存在对称正解的情况,主要运用了锥上范数形式的拉伸-压缩不动点
　　定理。一个自然的问题:式(1)在某种条件下是否存在三个对称正解?本文在文献[5]的基础上,利用Legget-Williams定理研究式(1)的三个对称正解的存在性。?
　　首先做出如下假设:?
　　(A1)???∶?R→R,奇单增同胚映射,且存在两个单增同胚映射ψ?1,ψ?2?∶?(0,∞)→(0,∞)使得?
　　ψ?1(u)?(v)≤?(uv)≤ψ?2(u)?(v),?u,v>0??
　　(A2)?w∈L?1[0, 1]非负对称的, 且在任何[0, 1]子区间上w(t)?0。??
　　(A3)?f?∶?[0,1]×R?+×R,连续。这里f(t,u,v)的对称性是指?
　　f(1-t,u,v)=f(t,u,v),f(t,u,-v)=f(t,u,v),?(t,u,v)∈[0,1]×R?+×R??
　　(A4)?g,h∈L?1[0,1],非负对称的。 记μ=∫?1?0g(s)?d?s,v=∫?1?0h(s)?d?s。??
　　1 预备知识?
　　设?E=C?1[0,1],定义范数‖u‖=?max?{‖u‖?0,‖u′‖?0},其中‖u‖?0=?max?t∈[0,1]|u(t)|,显然E为?Banach空间。 定义?E?上的锥?P={u∈E?∶?u(t)≥0,? u是凹的也是对称的}。定义算子T?∶?E→E,??
　　
　　?(Tu)(t)=∫?1?0H(t,s)?-1[∫?1?0H?1(s,τ)w(τ)?f(τ,u(τ),u′(τ))?d?τ]?d?s(2)??
　　其中:?
　　?H?1(t,s)=G(t,s)+11-v[SX)]∫?1?0G(s,τ)h(τ)?d?τ?
　　H(t,s)=G(t,s)+11-μ[SX)]∫?1?0G(s,τ)g(τ)?d?τ?
　　G(t,s)=t(1-s),0≤t≤s≤1?
　　s(1-t),0≤s≤t≤1??
　　下面给出本文所需的引理。?
　　引理1[1] 设?T?∶?P?c→P?c是全连续的,且α是P上的非负连续凹泛函,满足α(u)≤‖u‖,?u∈P?c,又设存在常数0　　?(C1)? {u∈P(α,b,d)|α(u)>b}≠?且?α(Tu)>b,对于?u∈P(α,b,d);?
　　?(C2) ?‖Tu‖　　?(C3)? α(Tu)>b,对于u∈P(α,b,c)且?‖Tu‖>d。??
　　那么?T至少存在三个不动点u?1,u?2和u?3?且满足??
　　‖u?1‖a且α(u?3)　　引理2 若?(?A1)~(A4?)成立, 那么u∈E是式(1)的解等价于u是算子T的不动点。??
　　引理3[5]659 若?(?A1)~(A4?)成立,那么算子?T?∶?P→P?是全连续的。?
　　引理4[5]658 下列四个命题成立,当?(?A?4)成立且?t,s∈[0,1]时?,??
　　?(i)?G(t,s)≥0,H(t,s)≥0,H?1(t,s)≥0;?
　　?(ii)?G(1-t,1-s)=G(t,s),H(1-t,1-s)=?
　　H(t,s),H?1(1-t,1-s)=H?1(t,s);?
　　?(iii)?ρe(s)≤H(t,s)≤γe(s),ρ?1e(s)≤?H?1(t,s)≤γ?1e(s)。??
　　其中??
　　ρ=∫?1?0e(s)g(s)?d?s1-μ,
　　ρ?1=∫?1?0e(s)h(s)?d?s1-v,?
　　e(s)=s(1-s),γ=11-μ,γ?1=11-v。??
　　引理 5 [10]假设?(?A?1)成立,那么?u,v∈(0,∞),ψ-1?2(u)v≤?-1(u?(v))≤ψ-1?1(u)v。??
　　2 主要定理?
　　假设?(?A1~A4?)成立,且存在0　　?(I)? 当a≤u≤c,?(t,u,v)∈[0,1]×?[a,c]×[-c,c], 有f(t,u,v)≤?(k?1c);?
　　?(II)? 当b≤u≤c,?(t,u,v)∈[0,1]×?[b,c]×[-c,c], 有f(t,u,v)≤?(k?2b);?
　　?(III)? 当0≤u≤a,?(t,u,v)∈[0,1]×?[0,a]×[-a,a], 有f(t,u,v)≤?(k?1a)。??
　　其中 ??k?1=?min?{[∫?1?0γe(s)?d?s·ψ-1?1(∫?1?0γ?1e(τ)w(τ)?d?τ)]?-1,?[12[SX)]ψ-1?1(∫?1?0γ?1e(τ)w(τ)?d?τ)]?-1}?
k?2=[ρ∫?1?0e(s)?d?s·ψ-1?2(∫?1?0ρ?1e(τ)w(τ)?d?τ)]-1??
　　那么式(1)至少存在三个对称正解?u?1,u?2 和u?3?,且满足??
　　‖u?1‖a且α(u?3)　　证 明:取?α(u)=?min?0≤t≤1{u(t),u′(t)},则α是锥P上的非负连续凹泛函,且 α(u)≤‖u‖,?u∈P。??
　　 易证?T?全连续。?
　　 当?u∈P?c时,由(?I)及(A?1)?可得??
　　Tu=∫?1?0H(t,s)?-1(∫?1?0H?1(s,τ)w(τ)f(τ,?u(τ)u′(τ))?d?τ)≤
　　∫?1?0γe(s)?d?s·ψ-1?1(∫?1?0γ?1e(τ)?w(τ)?d?τ)·k?1c=c(3)??
　　即?‖Tu‖?0≤c。??
　　 另一方面,由条件?(?I?)?及引理5有??
　　|(Tu)′(t)|≤12[SX)]?-1(∫?1?0γ?1e(τ)w(τ)?d?τ)≤?12[SX)]k?1c·ψ-1?1(∫?1?0γ?1e(τ)w(τ)?d?τ)]≤c。(4)??
　　由式(3)、式(4)知,?‖Tu‖≤c,即T?∶?P?c→P?c是全连续的。??
　　 下面验证引理1的三个条件成立。??
　　(?C?1) 取u?0=b+d2[SX)]=3b2[SX)](d=2b),α(u?0)=b+d2[SX)] >b,显然u?0∈{u∈P(α,b,d)|α(u)>b}≠?。??
　　当?u∈P(α,b,d)时, b≤α(u)≤‖u‖≤d。由条件(?II?)知。??? (责任编辑：南欧)