³£Î¢·Ö·½³Ì±ßÖµÎÊÌâÊdz£Î¢·Ö·½³ÌÀíÂÛÑо¿µÄÖصã,¶øÆäÖеĻý·Ö±ßÖµÎÊÌâÓÉÓÚÆäÓ¦ÓõĹ㷺ÐÔ,½üÄêÀ´±»ÖÚ¶à¹úÄÚÍâѧÕßËùÑо¿¡£×î½ü, ÎÄÏ×[5]ÖÐÑо¿ÁËÏÂÁбßÖµÎÊÌâ(BVP)¡£ª§ª¤
¡¡¡¡¢h(u″(t))″=w(t)f(t,u(t),u′(t)) t∈(0,1)ª¤
¡¡¡¡u(0)=u(1)=ª©∫ª¬1ª­0g(s)u(s)ª«dª«sª¤
¡¡¡¡¢h(u″(0))=¢h(u″(1))=∫ª¬1ª­0h(s)¢h(u″(s))ª«dª«sª¤(1)ª§ª¤
¡¡¡¡ÖÁÉÙ´æÔÚÒ»¸ö¡¢Á½¸öºÍ²»´æÔÚ¶Ô³ÆÕý½âµÄÇé¿ö,Ö÷ÒªÔËÓÃÁË׶ÉÏ·¶ÊýÐÎʽµÄÀ­Éì-ѹËõ²»¶¯µã
¡¡¡¡¶¨Àí¡£Ò»¸ö×ÔÈ»µÄÎÊÌâ:ʽ(1)ÔÚijÖÖÌõ¼þÏÂÊÇ·ñ´æÔÚÈý¸ö¶Ô³ÆÕý½â?±¾ÎÄÔÚÎÄÏ×[5]µÄ»ù´¡ÉÏ,ÀûÓÃLegget-Williams¶¨ÀíÑо¿Ê½(1)µÄÈý¸ö¶Ô³ÆÕý½âµÄ´æÔÚÐÔ¡£ª¥
¡¡¡¡Ê×ÏÈ×ö³öÈçϼÙÉè:ª¥
¡¡¡¡(A1)ª§¢hª«¡Ãª«R→R,Ææµ¥ÔöͬÅßÓ³Éä,ÇÒ´æÔÚÁ½¸öµ¥ÔöͬÅßÓ³Éäψª­1,ψª­2ª«¡Ãª«(0,∞)→(0,∞)ʹµÃª¥
¡¡¡¡ψª­1(u)¢h(v)≤¢h(uv)≤ψª­2(u)¢h(v),ªÐu,v>0ª§ª¥
¡¡¡¡(A2)ª§w∈Lª¬1[0, 1]·Ç¸º¶Ô³ÆµÄ, ÇÒÔÚÈκÎ[0, 1]×ÓÇø¼äÉÏw(t)«¢0¡£ª§ª¥
¡¡¡¡(A3)ª§fª«¡Ãª«[0,1]×Rª¬+×R,Á¬Ðø¡£ÕâÀïf(t,u,v)µÄ¶Ô³ÆÐÔÊÇÖ¸ª¥
¡¡¡¡f(1-t,u,v)=f(t,u,v),f(t,u,-v)=f(t,u,v),ªÐ(t,u,v)∈[0,1]×Rª¬+×Rª§ª¥
¡¡¡¡(A4)ª§g,h∈Lª¬1[0,1],·Ç¸º¶Ô³ÆµÄ¡£ ¼Çμ=∫ª¬1ª­0g(s)ª«dª«s,v=∫ª¬1ª­0h(s)ª«dª«s¡£ª§ª¤
¡¡¡¡1 Ô¤±¸ÖªÊ¶ª¥
¡¡¡¡É誫E=Cª¬1[0,1],¶¨Òå·¶Êý¡¬u¡¬=ª«maxª«{¡¬u¡¬ª­0,¡¬u′¡¬ª­0},ÆäÖС¬u¡¬ª­0=ª«maxª«t∈[0,1]|u(t)|,ÏÔÈ»EΪª«Banach¿Õ¼ä¡£ ¶¨Ò媫Eª«ÉϵÄ׶ª«P={u∈Eª«¡Ãª«u(t)≥0,ª¤ uÊÇ°¼µÄÒ²ÊǶԳƵÄ}¡£¶¨ÒåËã×ÓTª«¡Ãª«E→E,ª«ª¥
¡¡¡¡
¡¡¡¡ª§(Tu)(t)=∫ª¬1ª­0H(t,s)¢h-1[∫ª¬1ª­0Hª­1(s,τ)w(τ)ª¤f(τ,u(τ),u′(τ))ª«dª«τ]ª«dª«s(2)ª§ª¤
¡¡¡¡ÆäÖÐ:ª¤
¡¡¡¡ª§Hª­1(t,s)=G(t,s)+11-v[SX)]∫ª¬1ª­0G(s,τ)h(τ)ª«dª«τª¤
¡¡¡¡H(t,s)=G(t,s)+11-μ[SX)]∫ª¬1ª­0G(s,τ)g(τ)ª«dª«τª¤
¡¡¡¡G(t,s)=t(1-s),0≤t≤s≤1ª¤
¡¡¡¡s(1-t),0≤s≤t≤1ª§ª¥
¡¡¡¡ÏÂÃæ¸ø³ö±¾ÎÄËùÐèµÄÒýÀí¡£ª¥
¡¡¡¡ÒýÀí1[1] É誧Tª«¡Ãª«Pª­c→Pª­cÊÇÈ«Á¬ÐøµÄ,ÇÒαÊÇPÉϵķǸºÁ¬Ðø°¼·ºº¯,Âú×ãα(u)≤¡¬u¡¬,ªÐu∈Pª­c,ÓÖÉè´æÔÚ³£Êý0¡¡¡¡ª«(C1)ª« {u∈P(α,b,d)|α(u)>b}≠¢hÇÒª¤α(Tu)>b,¶ÔÓÚªÐu∈P(α,b,d);ª¥
¡¡¡¡ª«(C2) ª«¡¬Tu¡¬¡¡¡¡ª«(C3)ª« α(Tu)>b,¶ÔÓÚu∈P(α,b,c)ÇÒª¤¡¬Tu¡¬>d¡£ª§ª¥
¡¡¡¡ÄÇôª«TÖÁÉÙ´æÔÚÈý¸ö²»¶¯µãuª­1,uª­2ºÍuª­3ª«ÇÒÂú×㪧ª¥
¡¡¡¡¡¬uª­1¡¬aÇÒα(uª­3)¡¡¡¡ÒýÀí2 Èôª«(ª«A1)~(A4ª«)³ÉÁ¢, ÄÇôu∈EÊÇʽ(1)µÄ½âµÈ¼ÛÓÚuÊÇËã×ÓTµÄ²»¶¯µã¡£ª«ª¥
¡¡¡¡ÒýÀí3[5]659 Èôª«(ª«A1)~(A4ª«)³ÉÁ¢,ÄÇôËã×Óª¤Tª«¡Ãª«P→Pª«ÊÇÈ«Á¬ÐøµÄ¡£ª¥
¡¡¡¡ÒýÀí4[5]658 ÏÂÁÐËĸöÃüÌâ³ÉÁ¢,µ±ª«(ª«Aª«4)³ÉÁ¢ÇÒªÐt,s∈[0,1]ʱª«,ª§ª¥
¡¡¡¡ª«(i)ª«G(t,s)≥0,H(t,s)≥0,Hª­1(t,s)≥0;ª¥
¡¡¡¡ª«(ii)ª«G(1-t,1-s)=G(t,s),H(1-t,1-s)=ª¤
¡¡¡¡H(t,s),Hª­1(1-t,1-s)=Hª­1(t,s);ª¥
¡¡¡¡ª«(iii)ª«ρe(s)≤H(t,s)≤γe(s),ρª­1e(s)≤ª¤Hª­1(t,s)≤γª­1e(s)¡£ª§ª¤
¡¡¡¡ÆäÖЪ§ª¥
¡¡¡¡ρ=∫ª¬1ª­0e(s)g(s)ª«dª«s1-μ,
¡¡¡¡ρª­1=∫ª¬1ª­0e(s)h(s)ª«dª«s1-v,ª¥
¡¡¡¡e(s)=s(1-s),γ=11-μ,γª­1=11-v¡£ª§ª¥
¡¡¡¡ÒýÀí 5 [10]¼ÙÉ誧(ª«Aª«1)³ÉÁ¢,ÄÇôªÐu,v∈(0,∞),ψ-1ª­2(u)v≤¢h-1(u¢h(v))≤ψ-1ª­1(u)v¡£ª§ª¤
¡¡¡¡2 Ö÷Òª¶¨Àíª¥
¡¡¡¡¼ÙÉ誧(ª«A1~A4ª«)³ÉÁ¢,ÇÒ´æÔÚ0¡¡¡¡ª«(I)ª« µ±a≤u≤c,ªÐ(t,u,v)∈[0,1]ת¤[a,c]×[-c,c], ÓÐf(t,u,v)≤¢h(kª­1c);ª¥
¡¡¡¡ª«(II)ª« µ±b≤u≤c,ªÐ(t,u,v)∈[0,1]ת¤[b,c]×[-c,c], ÓÐf(t,u,v)≤¢h(kª­2b);ª¥
¡¡¡¡ª«(III)ª« µ±0≤u≤a,ªÐ(t,u,v)∈[0,1]ת¤[0,a]×[-a,a], ÓÐf(t,u,v)≤¢h(kª­1a)¡£ª§ª¥
¡¡¡¡ÆäÖÐ ª¥ª§kª­1=ª«minª«{[∫ª¬1ª­0γe(s)ª«dª«s·ψ-1ª­1(∫ª¬1ª­0γª­1e(τ)w(τ)ª«dª«τ)]ª¬-1,ª¥[12[SX)]ψ-1ª­1(∫ª¬1ª­0γª­1e(τ)w(τ)ª«dª«τ)]ª¬-1}ª¥
kª­2=[ρ∫ª¬1ª­0e(s)ª«dª«s·ψ-1ª­2(∫ª¬1ª­0ρª­1e(τ)w(τ)ª«dª«τ)]-1ª§ª¥
¡¡¡¡ÄÇôʽ(1)ÖÁÉÙ´æÔÚÈý¸ö¶Ô³ÆÕý½âª«uª­1,uª­2 ºÍuª­3ª«,ÇÒÂú×㪧ª¥
¡¡¡¡¡¬uª­1¡¬aÇÒα(uª­3)¡¡¡¡Ö¤ Ã÷:È¡ª«α(u)=ª«minª«0≤t≤1{u(t),u′(t)},ÔòαÊÇ׶PÉϵķǸºÁ¬Ðø°¼·ºº¯,ÇÒ α(u)≤¡¬u¡¬,ªÐu∈P¡£ª«ª¥
¡¡¡¡ Ò×Ö¤ª«Tª«È«Á¬Ðø¡£ª¥
¡¡¡¡ µ±ª§u∈Pª­cʱ,ÓÉ(ª«I)¼°(Aª«1)ª§¿ÉµÃª¥ª§
¡¡¡¡Tu=∫ª¬1ª­0H(t,s)¢h-1(∫ª¬1ª­0Hª­1(s,τ)w(τ)f(τ,ª¤u(τ)u′(τ))ª«dª«τ)≤
¡¡¡¡∫ª¬1ª­0γe(s)ª«dª«s·ψ-1ª­1(∫ª¬1ª­0γª­1e(τ)ª¤w(τ)ª«dª«τ)·kª­1c=c(3)ª§ª¥
¡¡¡¡¼´ª§¡¬Tu¡¬ª­0≤c¡£ª§ª¥
¡¡¡¡ ÁíÒ»·½Ãæ,ÓÉÌõ¼þª«(ª«Iª«)ª«¼°ÒýÀí5ÓЪ§ª¥
¡¡¡¡|(Tu)′(t)|≤12[SX)]¢h-1(∫ª¬1ª­0γª­1e(τ)w(τ)ª«dª«τ)≤ª¤12[SX)]kª­1c·ψ-1ª­1(∫ª¬1ª­0γª­1e(τ)w(τ)ª«dª«τ)]≤c¡£(4)ª§ª¥
¡¡¡¡ÓÉʽ(3)¡¢Ê½(4)Öª,ª§¡¬Tu¡¬≤c,¼´Tª«¡Ãª«Pª­c→Pª­cÊÇÈ«Á¬ÐøµÄ¡£ª§ª¥
¡¡¡¡ ÏÂÃæÑéÖ¤ÒýÀí1µÄÈý¸öÌõ¼þ³ÉÁ¢¡£ª¥ª§
¡¡¡¡(ª«Cª«1) È¡uª­0=b+d2[SX)]=3b2[SX)](d=2b),α(uª­0)=b+d2[SX)] >b,ÏÔÈ»uª­0∈{u∈P(α,b,d)|α(u)>b}≠¢h¡£ª§ª¥
¡¡¡¡µ±ª§u∈P(α,b,d)ʱ, b≤α(u)≤¡¬u¡¬≤d¡£ÓÉÌõ¼þ(ª«IIª«)Öª¡£ª§ª¥ª§ (ÔðÈα༭£ºÄÏÅ·)תÌùÓÚÄÏÔÁÂÛÎÄÖÐÐÄ: http://www.nylw.net(ÄÏÔÁÂÛÎÄÖÐÐÄ__´úд´ú·¢ÂÛÎÄ_±ÏÒµÂÛÎÄ´øд_¹ãÖÝÖ°³ÆÂÛÎÄ´ú·¢_¹ãÖÝÂÛÎÄÍø£©