芝诺(Zeno，约公元前495—425年)关于运动
的悖论流传下来的有4个：“二分辩”、“追龟辩”、“飞 矢辩”和“运动场辩”。多年来，在如何看待和解释这 些悖论所引起的矛盾方面，众多学者提出了各不相 同的见解。本文在“解析芝诺悖论内含的逻辑漏 洞州”一文中曾给出对“追龟辩”、“飞矢辩”的看法。 限于篇幅，该文对于他人有关芝诺悖论的看法未能 做具体考察，现对其中几种典型论点进行分析。
1 对芝诺悖论的经验反驳和推理反驳
一种典型意见是利用经验或实验来证明芝诺的 推理是错误的。例如，我们很容易就可以安排一个 实验，证明“跑得快的可以追上跑得慢的”或者“射出 去的箭在移动”。其实最早的经验反驳提出者是古 希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼。据说当他的 学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间 里走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不 存在，我这不是正在证明他是错的吗?
显然，所谓的经验反驳者并没有真正理解“悖 论”的实质。所谓悖论，就是指从公认的或者假定的 同样前提出发，经过正确的逻辑推理，得出相互矛盾 或者与前提矛盾的结论。当论证出现悖论时，只有 两种解释：要么推理出现错误，要么前提不成立。芝 诺当然清楚，其推理与经验事实矛盾。他以运动存 在为前提，导出“追龟辩”和“飞矢辩”的荒谬结果。 既然其推理没有毛病，只能得出一个结论：运动是不 存在的，只是假象。因为他的老师“巴门尼德曾争论 说运动或变动是不可能的，而据说芝诺为之辩护州羽。
另一种典型意见是利用相反的推理来证明芝诺
的推理是错误的。与上面的做法不同的是，这种意
见没有直接依靠经验，而是依靠具体推理或计算证 明，‘‘跑得快的”可以在某一具体的时间(T—s／V。 一V。)内“追上跑得慢的”，或者证明箭在飞行过程 中的速度不可能处处为零(否则箭不可能完成飞 行)，以此来驳斥芝诺的结论。面对这种说法，芝诺 会在天国暗自发笑，因为这正中他的下怀。
在他看来，从同样的前提出发，经过不同的逻辑 推理过程，得到两种相互矛盾的结果，恰恰证明前提 是错误的。因而，我们可以认为，这两种意见在芝诺 悖论面前实际上是无能为力的。
2罗素对芝诺悖论的分析
20世纪著名的逻辑学家罗素(H．N．Russell) 曾多次谈到芝诺悖论，他指出：“我们可以下述的几 种方法来避免芝诺的悖论，一是主张时空虽确由点 和瞬间构成，但其数目在任何有限的间隔中都是无 限的；二是根本否定时空由点和瞬间构成；三是完全 否定时空的实在性。芝诺本人作为巴门尼德的支持 者，在这三种可能的演绎中似乎采取最后一种，无论 如何就时间来说是这样的州钉”3。
显然，罗素把前两种方法留给自己，但对第一种 方法有些犹豫。他曾说过：“从形式上看，数学采取 一种绝对时空的理论，即假定除了在时空中的事物 之外，还有被称为‘点’和‘瞬间’的实体，它们为事物 所占有。不过，这个观点虽为牛顿所倡导，数学家们 却久已认为只是一个方便的虚构州们109。“因此首先 我们且承认点和瞬间，并与这个较简单的或至少熟 悉的假设和联系来考察这些问题”㈣90。
罗素还说过：“芝诺曾经证明，如果我们坚持有
限空间和时间中的点和瞬间的数目必定是有限的， 那么就不可能把空间和时间分析为点和瞬间”。“根 据芝诺提出的理由，空间和时间不可能是由无限数 目的点和瞬间构成的。因此空间和时间如果是实在 的，就一定不能是由点和瞬间构成的州6"o。
没有点和瞬间的时空又该如何理解?罗素说：“解 决就在于连续系列的理论。我们看到很难不假定，箭 矢在飞行时在下一个瞬间占据下一个位置，但是事实 上并没有下一个位置，也没有下一个瞬间，一旦在想像 上领悟了这一点，就可看到这个困难消失了”忉”1。他 还说：“如果我们像数学家那样避开运动也是不连续的 这个假定，就不会陷人哲学家的困难。假若一部电影 中有无限多张影片，所以这部电影中决不存在相邻的 影片，这样一部电影会充分代表连续运动，那么，芝诺 议论的说服力到底在哪里呢?”∞H34
这里，罗素由于找不到“飞矢辩”的漏洞，似乎只 好接受了芝诺推理潜在的另一个哲学结论：“空间和 时间不可能是由无限数目的点和瞬间构成的”。由 于罗素又不可能同意“空间和时间是由有限数目的 点和瞬间构成的”的假设，实际上就放弃了自己提出 的第一种方法，只保留了第二种方法：“根本否定时 空由点和瞬间构成”，或者说，时空是连续的，但“没 有下一个位置，也没有下一个瞬间”。
罗素的论述无法令人满意。与其像是论证，不 如说更像比喻。由于无法解释“飞矢辩”而后退尚可 谅解，但因为不能确定“下一个位置”和“下一个瞬 间”，就否定时空中点和瞬间的存在，显得过于牵强。 需要指出，罗素的与“点”相对应的“瞬间”一词 含意有些含糊。因为运动中空间的点应该对应于时 间的“时刻”，而时刻是没有长度的。罗素也许深受 牛顿的影响。在牛顿的理论中，“瞬”(moment)有时 为0，有时不为0，这也严重影响了当时数学分析基 础的严密性。该问题直到19世纪后期才由柯西解 决。也许罗素并不熟悉柯西的极限理论(可参考文(责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(南粤论文中心__代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）
